立体几何复盘：如何证明面面垂直？
空间的垂直关系有以下三种：
线线垂直：包括共面垂直和异面垂直两类情况。
线面垂直
面面垂直
这三种垂直关系，可以相互转化。
（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。
（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。
（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。
（4）由面面垂直可以推出线面垂直。
（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。
真题实例
2015年文数全国卷A题18
如图，四边形 为菱形， 为 与 的交点， 平面 .
（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;
【破解要点】
由线面垂直推出面面垂直，是证明面面垂直的常用方法。本题就是典型实例。
由菱形的对角线性质可以推出一对线线垂直：;
再由三线合一推出另外一对线线垂直：;
二者结合推出： 平面 .
据此得出结论：平面 平面 ;
2017年文数全国卷A题18
如图，在四棱锥 中，，且
（1）证明∶平面 平面 ;
【破解要点】
为证面面垂直，先证线面垂直.
由题设条件可得：
再由平行线的传递性可推出：
于是推出线面垂直：先证明 平面
根据这一对线面垂直关系，即可推出：平面 平面 ;
2012年文数全国卷题19
如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， 是棱 的中点.
（I）证明∶平面 平面 ;
【破解要点】
在本题解答过程中起关键作用的是这一对线面垂直关系：
平面 ;
2019年理数全国卷C题19
图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形，其中 将其沿 折起使得 与 重合，连接 ，如图2.
（1）证明∶图2中的 四点共面，且平面 平面 ;
说明：文数与理数的第1问相同
【破解要点】
平面 .
2018年理数全国卷A题18
如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明∶平面 平面;
【破解要点】
解答此题的基本思路仍是：由线面垂直推出面面垂直；
关键在于： 是矩形 ;
平面 .
2016年理数全国卷A题18
如图，在以 为顶点的五面体中，面 为正方形，，，且二面角 与二面角 都是
（I）证明∶平面 平面 ;
【破解要点】
破解要点： 平面 .
2018年文数全国卷C题19
如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点.
（1）证明∶平面 平面 ;
说明：文数与理数的第1问相同
【破解要点】
本题的关键有两点：
（一） 直径所对的圆周角是直角. 这是平面几何中的一个常用定理.
根据该定理可以推出：.
（二）矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，所以 平面 , .
这是由面面垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直.
2010年文数全国卷题18
如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高.
（1）证明∶平面 平面 ;
【破解要点】
由线面垂直推出面面垂直，是证明面面垂直的最常用路径. 就本题而言，自然想到：
平面 ？
为了证明这一线面垂直关系，需要两对线线垂直，其中之一是现成的：;
另外一对则由线面垂直推出：
是四棱锥的高.
平面
.
2015年理数全国卷A题18
如图，四边形 为菱形，， 是平面 同一侧的两点， 平面 ，平面,
（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;
【破解要点】
如果一个二面角的平面角是直角 ，那么这个二面角的两个面相互垂直. 用平面角来证面面垂直，可以称为：定义法.
连接 , 记对角线 的交点为 .
根据题设条件可以推出： 是等腰直角三角形.
; .
而 都是等腰三角形， 是二面角 的平面角，∴ 平面 平面 ;
本题的特点是综合度较高：立体几何、平面几何都要用到.
2017年理数全国卷C题19
如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形，
（1）证明∶平面 平面 ;
【破解要点】
除了线面垂直以外，还有一个办法可以证明面面垂直：证明它的平面角是直角.
作 的中点 .
本题的关键在于以下三角形的全等关系：
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